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曲线的公切线问题

作者：

UndefinedCobalt

在

数学, 沉思录

这一类问题主要有两种考法，一是求两条已知曲线的公切线，二是由公切线相关的参数范围。

如此如此。

一、求公切线方程

例题1：与 $y=e^{x},y=-\frac{x^2}{4}$ 都相切的直线方程？

析：求解公切线方程在高中阶段最主流的方法是同一法。

即，分别求出这公切线在曲线 $f(x),g(x)$ 上的切点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ ,再利用导数算出斜率，进而表达出 $f(x),g(x)$ 分别在 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ 的切线 $l_{1},l_{2}$ 。最后，通过 $l_{1},l_{2}$ 斜率相同，截距相同列出二元一次方程组，最后解出切点坐标，进而求得切线方程。

~~（其实这种解法比较繁琐，读者可以找我交流更简单的解法（（）~~

解：设切点： $(x_{1},e^{x_{1}}),(x_{2},-\frac{x_{2}^2}{4})$
$f'(x_1)=e^{x_1};g'(x_2)=-\frac{x_2}{2}$
则 $l_1:y=e^{x_1}x+(1-x_1)e^{x_1}$
$l_2:y=-\frac{x_2}{2}x+\frac{x_2^2}{4}$
两直线斜率相同，截距相同：
$\begin{cases} e^{x_1} = -\frac{x_2}{2} \\ (1 - x_1) e^{x_1} = \frac{x_2^2}{4} \end{cases}$
$\therefore (1-x_1)^2=(1-x_1)e^{x_1}$
$x_1=0,x_2=-2$

所以切线：

$l:y=x+1$

鉴于求解公切线的过程比较繁琐，我推荐记住几个特殊函数在特殊点的切线~~（毕竟小题很少遇到太恶心人的情况）~~

$y=ln(x),在(1,0)处：y=x-1$
$y=e^x,在(0,1)处：y=x+1$
$y=\sin x,在(0,0)处：y=x$

主要是为了应对一些比较trivial的小题，就可以在一定程度上简化运算了。举几个例子：

如，求 $ln(x-1)$ 在点 $(2,0)$ 处的切线：
即将y=x-1向下平移一个单位长度
$\therefore y=x-2$

这些常用的切线还有大用处~~（没错，说的就是你，切线放缩.jpg）~~在这里先按下不谈（？）

我们接下来展示一些实战中的应用：

（~~全部摘自大橘（凤凰台）~~）

已知 $y=e^x,y=2+ln(x);求它们的公切线：$
$y=x+1$

评论

《 “曲线的公切线问题” 》有 2 条评论

2025年7月12日

A stranger…?

很荣幸成为第一个评论的，有一个解法核心思路和楼主相似，但是似乎计算量少了一些？我的想法是：写出各函数的导数，不妨令其均为k，在图像上是一条横线，与两个函数的导数图像交点分别为(-2k,k),(ln(k),k),其中第一个点在函数上的的坐标为(-2k,-k^2),第二个点坐标不变，根据点斜式方程分别写出过两点的方程：l_{1}:y=kx+k^2,l_{2}:y=kx-klnk+k,使其共线，只需要解方程k=lnk-1，瞪眼得k=1

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1. 2025年7月13日
  
  谷晚钟
  
  这个确实强（（
  
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