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曲线的公切线问题

作者：

UndefinedCobalt

在

这一类问题主要有两种考法，一是求两条已知曲线的公切线，二是由公切线相关的参数范围。

如此如此。

一、求公切线方程

例题1：与y=e^{x},y=-\frac{x^2}{4}都相切的直线方程？

析：求解公切线方程在高中阶段最主流的方法是同一法。

即，分别求出这公切线在曲线f(x),g(x)上的切点(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),再利用导数算出斜率，进而表达出f(x),g(x)分别在(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})的切线l_{1},l_{2}。最后，通过l_{1},l_{2}斜率相同，截距相同列出二元一次方程组，最后解出切点坐标，进而求得切线方程。

（其实这种解法比较繁琐，读者可以找我交流更简单的解法（（）

解：设切点：(x_{1},e^{x_{1}}),(x_{2},-\frac{x_{2}^2}{4})
f'(x_1)=e^{x_1};g'(x_2)=-\frac{x_2}{2}
则l_1:y=e^{x_1}x+(1-x_1)e^{x_1}
l_2:y=-\frac{x_2}{2}x+\frac{x_2^2}{4}
两直线斜率相同，截距相同：
\begin{cases} e^{x_1} = -\frac{x_2}{2} \\ (1 - x_1) e^{x_1} = \frac{x_2^2}{4} \end{cases}
\therefore (1-x_1)^2=(1-x_1)e^{x_1}
x_1=0,x_2=-2

所以切线：

l:y=x+1

鉴于求解公切线的过程比较繁琐，我推荐记住几个特殊函数在特殊点的切线（毕竟小题很少遇到太恶心人的情况）

y=ln(x),在(1,0)处：y=x-1
y=e^x,在(0,1)处：y=x+1
y=\sin x,在(0,0)处：y=x

主要是为了应对一些比较trivial的小题，就可以在一定程度上简化运算了。举几个例子：

如，求ln(x-1)在点(2,0)处的切线：
即将y=x-1向下平移一个单位长度
\therefore y=x-2

这些常用的切线还有大用处（没错，说的就是你，切线放缩.jpg）在这里先按下不谈（？）

我们接下来展示一些实战中的应用：

（全部摘自大橘（凤凰台））

已知y=e^x,y=2+ln(x);求它们的公切线：
y=x+1

最后编辑于 2026年7月25日 21:26

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评论

谷晚钟

这个确实强（（

A stranger…?

很荣幸成为第一个评论的，有一个解法核心思路和楼主相似，但是似乎计算量少了一些？我的想法是：写出各函数的导数，不妨令其均为k，在图像上是一条横线，与两个函数的导数图像交点分别为(-2k,k),(ln(k),k),其中第一个点在函数上的的坐标为(-2k,-k^2),第二个点坐标不变，根据点斜式方程分别写出过两点的方程：l_{1}:y=kx+k^2,l_{2}:y=kx-klnk+k,使其共线，只需要解方程k=lnk-1，瞪眼得k=1

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2 条对“曲线的公切线问题”的回复

  1. A stranger…?

    很荣幸成为第一个评论的，有一个解法核心思路和楼主相似，但是似乎计算量少了一些？我的想法是：写出各函数的导数，不妨令其均为k，在图像上是一条横线，与两个函数的导数图像交点分别为(-2k,k),(ln(k),k),其中第一个点在函数上的的坐标为(-2k,-k^2),第二个点坐标不变，根据点斜式方程分别写出过两点的方程：l_{1}:y=kx+k^2,l_{2}:y=kx-klnk+k,使其共线，只需要解方程k=lnk-1，瞪眼得k=1

    1. 谷晚钟

      这个确实强（（

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