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分类： 沉思录

  • 时令河：回忆我的物竞

    写在前面

    从两年前开始，我就在设想此刻。此刻是2025年9月5日，晚上八点，第42届CPhO预赛的前夕。曾经我无限憧憬此刻的自己能信心十足，为失利的中考画上“复仇”的句号；可事实是，即使是两年后第三次踏入一中南的考场，我的功力也几乎没有长进。于是，我想，我总得写点什么，回忆我的物竞；我的物竞背后所有的失落与骄傲，幼稚与成长。

    不过老实说，我的钢笔一碰到稿纸就写不出字来了。过去的半年里，我不止一次构思这篇文章的种种细节，可惜它们早已佚散。我苦笑着给一段又一段文字打上横杠，撕下一页又一页半空的稿纸。可是无济于事。大概活着的时候为死去的自己立传，也不过如此吧，我暗自苦笑。更准确地来说，我还没准备好出发，便被匆匆叫住，回望过去的三年，恍恍惚如隔世。关于物竞的记忆，虽说俯拾即是，但总体零碎而杂乱，有待沉淀、发酵——需要的不止有时间，还有灵感。

    等了好久，从周一到周五，终于来了灵感；于是我不能再浪费时间，赶紧开始了写作。我希望这篇文章能帮到渴望了解我的你，准备投身理想却在现实中迷茫的你：你不是一个人。

    零.序言

    据目前所知，时间只能向一个方向进行。“逝者如斯夫”，此话不假。如果从我们的生命中截取一个片段，再从第三人称观望，就会看到一条河。河流也分很多种，但大体上被一分为二：注入大海、或间接注入大海的外流河；以及再内陆深处悄然消失的内流河。

    站在浩浩长江的末端，你要想象一滴水落在玉龙雪山上，如何穿过丽江，如何汹涌澎湃，如何行如大海；站在枯水的塔里木河畔，你则要记起，这里埋藏的不止有地下水，还有一整个海洋的梦想。

    我想将我的物竞比作一条时令河。它的流动依赖一时激情，更何况缺乏耐心，动辄改道。它的终点是一片荒芜的盐沼，但也不无生机。它丰盈过，短暂的雨季让它开满玫瑰；它荒芜着，遗忘带来风沙，掩埋了激情。

    一.雨季

  • 40预笔记

    T1

    40张
    T1: 求H原子、He+离子中，基态电子结合能E_H、E_He的比值。（玻尔原子理论）
    答案：D.1/4
    原理：E = E_k + E_p，分别求解E_p、E_k，再利用库仑定律、轨道量子化求解。

        \[\frac{1}{2}mv_n^2 + \left(-k\frac{ze^2e}{r_n}\right) \Rightarrow ①求U；②求r_n\]

        \[\begin{cases}mv_n r_n = n\hbar \Rightarrow U = \frac{kze^2}{n^2\hbar^2} \Rightarrow E_n = -\frac{1}{2}\frac{mk^2z^2e^4}{n^2\hbar^2} \text{故} E_n \propto z^2 \\ k\frac{ze^2}{r_n^2} = m\frac{v_n^2}{r_n} \Rightarrow r_n = \frac{n^2\hbar^2}{mkze^2}\end{cases}\]

    T4: 如图，已知e、e_0。现释放4个粒子，经过足够长时间之后，单个质子、正电子的动能分别为：（静电场）
    答案：A. \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a}、\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a}\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
    （由于m_e << m_p，所以正电子认为立刻逃逸） 对2质子系统，E_p = -\frac{ke^2}{a} 则 -E_p = 2E_k （势能是相对系统而言！）

        \[E_{kp} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0a}\]

    （注：复杂系统的电势能计算：E_p = \frac{1}{2}\sum q_iU_i）（\frac{1}{2}是因为重复计算）
    2电子得到的能量即为电子-质子4粒子系统总势能与2质子系统的能量之差。记原势能为E_0，后势能为E_1，则有：2E_{ke} = -(E_0 - E_1)

        \[E_0 = \frac{1}{2}\sum q_iU_i \text{；其中4个点电势相等，均有} \varphi = \frac{ke}{a} + \frac{ke}{a} + \frac{ke}{\sqrt{2}a}\]

        \[E_0 = \frac{1}{2} \times 4 \cdot e \cdot \varphi = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a}(4 + \sqrt{2})\]

        \[2E_{ke} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a}(4 + \sqrt{2} - 1) \quad \text{即} E_{ke} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a}\left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

    T6 两音叉以f = 440Hz发声，一观测者在两音叉间以V = 34m/s靠近某音叉；又已知声速为340m/s。求观测者听到的拍频。（多普勒效应）
    答案：8Hz
    [拍频与拍频现象]
    当两频率相近的波相遇时会产生“拍频”现象。这两波会产生类似“干涉”的效果，产生“波动”的相长、相消点，即合成一列新的波。可以推导拍频波的频率|f_1 – f_2|。拍频在航天器设计、抗震设计中都有重要的用途。

  • 曲线的公切线问题

    这一类问题主要有两种考法，一是求两条已知曲线的公切线，二是由公切线相关的参数范围。

    如此如此。

    一、求公切线方程

    例题1：与y=e^{x},y=-\frac{x^2}{4}都相切的直线方程？

    析：求解公切线方程在高中阶段最主流的方法是同一法。

    即，分别求出这公切线在曲线f(x),g(x)上的切点(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),再利用导数算出斜率，进而表达出f(x),g(x)分别在(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})的切线l_{1},l_{2}。最后，通过l_{1},l_{2}斜率相同，截距相同列出二元一次方程组，最后解出切点坐标，进而求得切线方程。

    （其实这种解法比较繁琐，读者可以找我交流更简单的解法（（）

    解：设切点：(x_{1},e^{x_{1}}),(x_{2},-\frac{x_{2}^2}{4})
    f'(x_1)=e^{x_1};g'(x_2)=-\frac{x_2}{2}
    则l_1:y=e^{x_1}x+(1-x_1)e^{x_1}
    l_2:y=-\frac{x_2}{2}x+\frac{x_2^2}{4}
    两直线斜率相同，截距相同：
    \begin{cases} e^{x_1} = -\frac{x_2}{2} \\ (1 - x_1) e^{x_1} = \frac{x_2^2}{4} \end{cases}
    \therefore (1-x_1)^2=(1-x_1)e^{x_1}
    x_1=0,x_2=-2

    所以切线：

    l:y=x+1

    鉴于求解公切线的过程比较繁琐，我推荐记住几个特殊函数在特殊点的切线（毕竟小题很少遇到太恶心人的情况）

    y=ln(x),在(1,0)处：y=x-1
    y=e^x,在(0,1)处：y=x+1
    y=\sin x,在(0,0)处：y=x

    主要是为了应对一些比较trivial的小题，就可以在一定程度上简化运算了。举几个例子：

    如，求ln(x-1)在点(2,0)处的切线：
    即将y=x-1向下平移一个单位长度
    \therefore y=x-2

    这些常用的切线还有大用处（没错，说的就是你，切线放缩.jpg）在这里先按下不谈（？）

    我们接下来展示一些实战中的应用：

    （全部摘自大橘（凤凰台））

    已知y=e^x,y=2+ln(x);求它们的公切线：
    y=x+1

  • 一类导数问题的研究（1）

    ,

    这类问题比较容易上手，因为它们只是披着导数外衣的简单二次函数题。

    铺开草稿纸

    例题：

    若函数f(x)=e^{2x}-ae^{x}+6x,a\in R。若函数有两个极值点x_{1},x_{2},且f(x_{1})+f(x_{2})<me^{x_{1}}+me^{x_{2}}恒成立，求m的取值范围。