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分类： 数学

  • 曲线的公切线问题

    这一类问题主要有两种考法，一是求两条已知曲线的公切线，二是由公切线相关的参数范围。

    如此如此。

    一、求公切线方程

    例题1：与y=e^{x},y=-\frac{x^2}{4}都相切的直线方程？

    析：求解公切线方程在高中阶段最主流的方法是同一法。

    即，分别求出这公切线在曲线f(x),g(x)上的切点(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),再利用导数算出斜率，进而表达出f(x),g(x)分别在(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})的切线l_{1},l_{2}。最后，通过l_{1},l_{2}斜率相同，截距相同列出二元一次方程组，最后解出切点坐标，进而求得切线方程。

    （其实这种解法比较繁琐，读者可以找我交流更简单的解法（（）

    解：设切点：(x_{1},e^{x_{1}}),(x_{2},-\frac{x_{2}^2}{4})
    f'(x_1)=e^{x_1};g'(x_2)=-\frac{x_2}{2}
    则l_1:y=e^{x_1}x+(1-x_1)e^{x_1}
    l_2:y=-\frac{x_2}{2}x+\frac{x_2^2}{4}
    两直线斜率相同，截距相同：
    \begin{cases} e^{x_1} = -\frac{x_2}{2} \\ (1 - x_1) e^{x_1} = \frac{x_2^2}{4} \end{cases}
    \therefore (1-x_1)^2=(1-x_1)e^{x_1}
    x_1=0,x_2=-2

    所以切线：

    l:y=x+1

    鉴于求解公切线的过程比较繁琐，我推荐记住几个特殊函数在特殊点的切线（毕竟小题很少遇到太恶心人的情况）

    y=ln(x),在(1,0)处：y=x-1
    y=e^x,在(0,1)处：y=x+1
    y=\sin x,在(0,0)处：y=x

    主要是为了应对一些比较trivial的小题，就可以在一定程度上简化运算了。举几个例子：

    如，求ln(x-1)在点(2,0)处的切线：
    即将y=x-1向下平移一个单位长度
    \therefore y=x-2

    这些常用的切线还有大用处（没错，说的就是你，切线放缩.jpg）在这里先按下不谈（？）

    我们接下来展示一些实战中的应用：

    （全部摘自大橘（凤凰台））

    已知y=e^x,y=2+ln(x);求它们的公切线：
    y=x+1

  • 一类导数问题的研究（1）

    ,

    这类问题比较容易上手，因为它们只是披着导数外衣的简单二次函数题。

    铺开草稿纸

    例题：

    若函数f(x)=e^{2x}-ae^{x}+6x,a\in R。若函数有两个极值点x_{1},x_{2},且f(x_{1})+f(x_{2})<me^{x_{1}}+me^{x_{2}}恒成立，求m的取值范围。